Math Ajax

воскресенье, 21 февраля 2016 г.

Что для одного modus ponens, то для другого modus tollens

Есть интересный английский афоризм: one's man modus ponens is another man's modus tollens. Мне не встречалось русскоязычного его объяснения (а это было бы полезно), поэтому я решил его написать.

Что это такое вообще?

По структуре эта фраза - абсолютная калька с известной пословицы: one man's meat is another man's poison.

Русская пословица "что русскому хорошо, то немцу смерть" несёт похожий смысл, но сильно отличается коннотациями. Она вызывает мысли о русских морозах, неприхотливых выносливых мужиках в лаптях и уникальном русском менталитете. Такие вещи затрагивать хочется не всегда.

Английский же вариант, между тем, ничего такого не подразумевает. Он просто о том, что на вкус и цвет товарища нет, все люди разные, и каждому своё.

"Тебе, дружок, и горький хрен — малина; а мне и бланманже — полынь".

Что такое modus ponens?

Modus ponens это правило из математической логики (а именно, исчисления высказываний), которое позволяет делать выводы в духе такого:

В субботу магазин не работает.
Сегодня суббота.
Значит, магазин не работает.

Иными словами, если у тебя есть импликация $A \rightarrow B$ (суббота → не работает) и утверждение $A$ (суббота), то по правилу modus ponens можно получить $B$ (не работает).

Произносится "модус поненс".

Что такое modus tollens?

Modus tollens это аналогичное правило, действующее в сторону опровержения. Например:

В субботу магазин не работает.
Сегодня магазин работает.
Значит, сегодня не суббота.

В более общем виде: если имеется $A \rightarrow B$ и $\neg B$, то отсюда можно перейти к $\neg A$.

Произносится "модус толленс".

А что это означает всё вместе? 

Расскажу историю.

В Швеции есть партия жонглёров (правда есть), и она будет здесь в качестве примера. Ещё в Швеции живёт Георгий. Георгий любит партию жонглёров и считает, что жонглёры, которые всегда и во всём правы, должны быть примером всем нам.

А ещё жила-была Барбара. Барбара этой страсти не разделяет.

И вот в один прекрасный день Барбара приходит к Георгию и говорит ему: "Ты же за жонглёров, да? А знаешь ли ты, что ЖОНГЛЁРЫ ЕДЯТ ДЕТЕЙ?!". И показывает фотографии, на которых лидер партии жонглёров именно это и делает.

Барбара ожидает, что Георгий проведёт следующее рассуждение:

Раз жонглёры классные, то они всегда поступают правильно.
Есть детей неправильно.
Значит, с жонглёрами что-то не так.

Георгий внимательно изучает фотографии. По его лицу пробегает волна морщин, в глазах читается вековая скорбь и раскаяние в грехах прошлого. Он нервно облизывает губы.

Несколько секунд Георгий пытается вытолкнуть из себя царапающие горло слова. Наконец, слова повисают в воздухе:

—  Окей, гугл. Где можно купить копчённого младенца?

* * *

Видно, что Барбара использовала modus tollens, а Георгий использовал modus ponens:

Раз жонглёры классные, то они всегда поступают правильно.
Жонглёры едят детей.
Значит, есть детей правильно.
На этой оптимистичной ноте и закончим. Если хотите узнать больше, то вот про это на сайте Гверна: http://www.gwern.net/Prediction%20markets#modus-tollens-vs-modus-ponens